Cálculo Exemplos

$x^{2}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h)$

Etapa 2.1.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2}$

Etapa 2.2.2

Reordene $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Etapa 4.1.2

Some $h^{2} + 2 h x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Etapa 4.1.3

Fatore $h$ de $h^{2} + 2 h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Fatore $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $h + 2 x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Etapa 4.2.2

Reordene $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 x + 0$

Etapa 7

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 8