Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Subtraia $h$ de $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{h}{x (x + h)}$ para o numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Etapa 5.2

Mova o termo $\frac{1}{x}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Some $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.2

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Etapa 7.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Etapa 7.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 8