Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

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Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 1.1.10

Combine frações.

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Etapa 1.1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Etapa 1.1.10.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 1.1.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 1.1.10.4

Combine $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique $27$ por $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Some $108$ aos dois lados da equação.

$27 x^{2} = 108$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $27 x^{2} = 108$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 108$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $108$ por $27$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 3.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 3.3.3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 3.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 3.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 3.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 4

Avalie ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$0^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, {(- 4)}^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 5