Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 x^{2}$ de $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $2 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3)$ .

$2 x^{2} (2 x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{2} (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 2 x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{3}{2}$ por $x$ .

${(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} - 2 \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Etapa 4.2.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 \frac{27}{2^{3}}$

Etapa 4.2.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{27}{8})$

Etapa 4.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{27}{8}$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{27}{4})$

Etapa 4.2.2.1.8

Reescreva $- 1 (\frac{27}{4})$ como $- (\frac{27}{4})$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $- \frac{27}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{27}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16}$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{16}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$\frac{81 - 108}{16}$

Etapa 4.2.2.5.2

Subtraia $108$ de $81$ .

$\frac{- 27}{16}$

Etapa 4.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{27}{16}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{27}{16})$

Etapa 5