Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida $x^{3} - 3 x^{2} - 9$ por $x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$ .

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

Etapa 6

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Etapa 7

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 7.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

Etapa 7.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 7.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 7.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.6.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.1.2

Divida $A (x - 3)$ por $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 7.1.6.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x - 3))$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.6.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4.2.3

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4.2.4

Reescreva a expressão.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.4.2.5

Divida $B (x (x - 3))$ por $1$ .

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.7

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.10

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 7.1.6.10.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 7.1.6.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

Etapa 7.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.7.1

Mova $B$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

Etapa 7.1.7.2

Mova $- 3 A$ .

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

Etapa 7.1.7.3

Mova $- 3 x B$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

Etapa 7.1.7.4

Mova $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

Etapa 7.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 7.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 7.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 3 A$

Etapa 7.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

Etapa 7.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 7.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 3 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Reescreva a equação como $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.3.1.2

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 7.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Etapa 7.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A - 3 B$ por $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ .

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Etapa 7.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ .

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.2

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3

Divida cada termo em $- 3 B = \frac{1}{3}$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = \frac{1}{3}$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.3.3

Multiplique $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 7.3.3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.3.3.3.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Etapa 7.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{9}$ em cada equação.

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Etapa 7.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $- \frac{1}{9}$ .

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.5

Resolva $C$ em $0 = - \frac{1}{9} + C$ .

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Etapa 7.3.5.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{9} + C = 0$ .

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.5.2

Some $\frac{1}{9}$ aos dois lados da equação.

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.7

Liste todas as soluções.

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.6

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Etapa 7.5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Etapa 7.5.8

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 11

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 11.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 11.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 13

Combine $- x^{- 1}]_{4}^{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 15

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 17

Combine $\ln (| x |)]_{4}^{5}$ e $\frac{1}{9}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Etapa 18

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Etapa 19

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 19.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 19.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 19.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 19.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 19.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 19.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 19.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Etapa 19.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 19.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Etapa 19.5

Subtraia $3$ de $5$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 19.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 19.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 20

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

Etapa 21

Combine $\frac{1}{9}$ e $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Etapa 22

Substitua e simplifique.

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Etapa 22.1

Avalie $x$ em $5$ e em $4$ .

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Etapa 22.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $5$ e em $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Etapa 22.3

Avalie $\ln (| x |)$ em $5$ e em $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Etapa 22.4

Avalie $\ln (| u |)$ em $2$ e em $1$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5

Simplifique.

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Etapa 22.5.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.4

Para escrever $- \frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.5

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $20$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 22.5.6.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.6.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.6.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.6.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.8

Some $- 4$ e $5$ .

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.9

Reescreva $\frac{\frac{1}{20}}{3}$ como um produto.

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.10

Multiplique $\frac{1}{20}$ por $\frac{1}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.11

Multiplique $20$ por $3$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.12

Para escrever $- \frac{1}{60}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.13

Para escrever $- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $180$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 22.5.14.1

Multiplique $\frac{1}{60}$ por $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.14.2

Multiplique $60$ por $3$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.14.3

Multiplique $\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ por $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.14.4

Multiplique $9$ por $20$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.16

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Etapa 22.5.17

Para escrever $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

Etapa 22.5.18

Escreva cada expressão com um denominador comum de $180$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 22.5.18.1

Multiplique $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ por $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

Etapa 22.5.18.2

Multiplique $9$ por $20$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

Etapa 22.5.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

Etapa 22.5.20

Mova $20$ para a esquerda de $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ .

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

Etapa 22.5.21

Combine $- 9$ e $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ .

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

Etapa 22.5.22

Cancele o fator comum de $- 9$ e $180$ .

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Etapa 22.5.22.1

Fatore $9$ de $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

Etapa 22.5.22.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 22.5.22.2.1

Fatore $9$ de $180$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

Etapa 22.5.22.2.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

Etapa 22.5.22.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

Etapa 22.5.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Etapa 23.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Etapa 23.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Etapa 23.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Etapa 24.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Etapa 24.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

Etapa 24.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

Etapa 24.5

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

Etapa 24.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Etapa 24.7

Simplifique.

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Etapa 24.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Etapa 24.7.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

Etapa 24.7.3

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Etapa 24.8

Some $20$ e $3$ .

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Etapa 25

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Forma decimal:

$0.67999637 \dots$

Etapa 26