Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x \cdot 3$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{3 - x}{3 x}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3

Cancele o fator comum de $3 - x$ e $x - 3$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3.4

Reordene os termos.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3.5

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Etapa 2.1.3.6

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 1}{x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{9}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{1}$