Cálculo Exemplos

$y = x$ , $y = \sqrt[6]{x}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x = \sqrt[6]{x}$

Etapa 1.2

Resolva $x = \sqrt[6]{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt[6]{x} = x$

Etapa 1.2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $\sqrt[6]{x} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[6]{x}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $x^{\frac{1}{6}}$ de $x^{\frac{1}{6}} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Fatore $x^{\frac{1}{6}}$ de $- x$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Etapa 1.2.3.2.3

Fatore $x^{\frac{1}{6}}$ de $x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ .

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0 + y = \sqrt[6]{x}$

Etapa 1.2.5

Defina $x^{\frac{1}{6}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x^{\frac{1}{6}}$ como igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $x^{\frac{1}{6}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Eleve cada lado da equação à potência de $6$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{6}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{6}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.6

Defina $1 - x^{\frac{5}{6}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $1 - x^{\frac{5}{6}}$ como igual a $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

Etapa 1.2.6.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{6}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1

Simplifique ${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- x^{\frac{5}{6}}$ .

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Multiplique ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ por $1$ .

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.1.4

Simplifique.

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.2.1

Simplifique ${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = {(- 1)}^{6}$

Etapa 1.2.6.2.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = \sqrt[6]{0}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $\sqrt[6]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[6]{0}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $0$ como $0^{6}$ .

$y = \sqrt[6]{0^{6}}$

Etapa 1.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \sqrt[6]{1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $\sqrt[6]{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[6]{1}$

Etapa 1.4.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - (x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[6]{x}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{6}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{6}}$ com relação a $x$ é $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Avalie $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}}) - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{7} \cdot 1 - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $1$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.3

Reescreva $0$ como $0^{6}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot {(0^{6})}^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.5

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.7

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{6}{7} + 0 (\frac{6}{7}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.8

Multiplique $0$ por $\frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.9

Some $\frac{6}{7}$ e $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 3.8.2.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.12.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 3.8.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - 0)$

Etapa 3.8.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 3.8.2.3.14

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.2.3.15

Para escrever $\frac{6}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.2.3.16

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.8.2.3.17

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.17.1

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.8.2.3.17.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.8.2.3.17.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7}$

Etapa 3.8.2.3.17.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{14}$

Etapa 3.8.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 2 - 7}{14}$

Etapa 3.8.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.19.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 - 7}{14}$

Etapa 3.8.2.3.19.2

Subtraia $7$ de $12$ .

$\frac{5}{14}$

Etapa 4