Cálculo Exemplos

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 8$ e $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{24}{x} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.2

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{24}{x}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.6

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.7

Some $- 24 x^{- 2}$ e $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Etapa 2.11.2

Multiplique $\frac{24}{x} + 12$ por $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Etapa 3

Para escrever $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Etapa 7

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3

Combine os termos.

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Etapa 8.3.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.3

Combine $x$ e $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.4

Mova $24$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.5.2

Divida $24$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.6

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.7

Combine $- 24$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.9

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.10

Combine $- 8$ e $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.11

Multiplique $- 8$ por $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Etapa 8.3.13

Some $- 24$ e $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Etapa 8.3.14

Some $- \frac{192}{x}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Etapa 8.3.15

Reescreva $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ como um produto.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Etapa 8.3.16

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Etapa 8.3.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Etapa 8.3.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Etapa 8.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Etapa 8.3.20

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$