Cálculo Exemplos

$y = \ln (9 x^{3} - x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 x^{3} - x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - (2 x))$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{9 x^{3} - x^{2}}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{3} - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{3}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) - x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Etapa 3.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$

Etapa 3.3

Multiplique $27 x^{2} - 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$ .

$\frac{27 x^{2} - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $27 x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $x$ de $27 x^{2}$ .

$\frac{x (27 x) - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (27 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (9 x - 1)}$

Etapa 3.4.3

Fatore $x$ de $x (27 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x^{2} (9 x - 1)}$

Etapa 3.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2} (9 x - 1)$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x - 2}{x (9 x - 1)}$