Cálculo Exemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x^{2}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 4.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 \ln (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 3 \ln (x)}{x^{4}}$

Etapa 6

Simplifique $- 3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{3})}{x^{4}}$