Cálculo Exemplos

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 6$ e $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.6.4

Some $0$ e $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

Etapa 3.10.2

Multiplique $\frac{x}{x + 1}$ por $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Etapa 4

Para escrever $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Etapa 5

Combine $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique $x + 6$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Etapa 7.1.1.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 7.1.1.2.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Etapa 7.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Etapa 7.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

Etapa 7.1.2

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.4.4

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.1.4.5

Reordene os termos.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ como um produto.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

Etapa 7.2.3

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Etapa 7.2.4

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Etapa 7.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$