Cálculo Exemplos

$\ln (x^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{x}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 4

Combine $e^{x \ln (x)}$ e $\frac{1}{x^{x}}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 7.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$