Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (x) - x$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.6

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + \ln (x)$

Etapa 4.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$\ln (x)$