Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x - 5}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{5^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{5^{2} - 6 \cdot 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 - 6 \cdot 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 6$ por $5$ .

$\frac{25 - 30 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $30$ de $25$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 x - 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x - 6$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 6$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 6$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 6$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \cdot 5 - 1 \cdot 6$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 - 1 \cdot 6$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$10 - 6$

Etapa 4.2

Subtraia $6$ de $10$ .

$4$