Cálculo Exemplos

$2 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$

Etapa 1

Reescreva o lado esquerdo com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.9

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.11

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.12

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Etapa 3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Etapa 3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Etapa 3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Etapa 3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Etapa 3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Etapa 3.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Etapa 3.3.9

Combine $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Etapa 3.3.10

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Subtraia $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Combine $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$