Cálculo Exemplos

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $6 x y$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Etapa 5.2

Fatore $3 y'$ de $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $3 y'$ de $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ por $3 (x^{2} + y^{2})$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ por $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $3$ de $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $x$ de $- x^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.6.1

Reescreva $- (x + 2 y)$ como $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x + 2 y) = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Etapa 7.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.3

Defina $x + 2 y$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Defina $x + 2 y$ como igual a $0$ .

$x + 2 y = 0$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$x = - 2 y$

Etapa 7.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2 y) = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Etapa 8.1.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Etapa 8.1.1.3

Multiplique $0$ por $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Etapa 8.1.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Etapa 8.1.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Etapa 8.1.2.2

Some $0$ e $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Etapa 8.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$y^{3} - 8 = 0$

Etapa 8.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Etapa 8.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 8.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Etapa 8.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Etapa 8.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Etapa 8.5

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 8.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 8.6

Defina $y^{2} + 2 y + 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Defina $y^{2} + 2 y + 4$ como igual a $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Etapa 8.6.2

Resolva $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 8.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 8.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 8.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 8.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 8.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 8.7

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 9

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.3

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.4

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.1

Mova $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.4.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Some $- 8 y^{3}$ e $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Etapa 9.1.2.2

Some $4 y^{3}$ e $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $5 y^{3} = 8$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $5 y^{3} = 8$ por $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Etapa 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Etapa 9.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ como $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Etapa 9.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Etapa 9.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Etapa 9.4.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Etapa 9.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Etapa 9.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{5}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Etapa 9.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Etapa 9.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Etapa 9.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ como $5$ .

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Etapa 9.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5}$ como $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 9.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 9.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 9.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 9.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Etapa 9.4.4.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Etapa 9.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ como $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Etapa 9.4.5.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Etapa 11