Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ em $x = 0$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ em $x = 2$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $12$ de $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f (2) = - 3$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ são $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Etapa 7