Cálculo Exemplos

Avalie a Integral integral de 1/(x^2-1) com relação a x
Etapa 1
Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Fatore a fração.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Reescreva como .
Etapa 1.1.1.2
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 1.1.2
Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar .
Etapa 1.1.3
Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar .
Etapa 1.1.4
Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é .
Etapa 1.1.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.5.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.1.6
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.6.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.6.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.1.7
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.7.1.2
Divida por .
Etapa 1.1.7.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.7.3
Mova para a esquerda de .
Etapa 1.1.7.4
Reescreva como .
Etapa 1.1.7.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.7.5.2
Divida por .
Etapa 1.1.7.6
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.7.7
Multiplique por .
Etapa 1.1.8
Mova .
Etapa 1.2
Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 1.2.2
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 1.2.3
Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.
Etapa 1.3
Resolva o sistema de equações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Resolva em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1.1
Reescreva a equação como .
Etapa 1.3.1.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.3.2
Substitua todas as ocorrências de por em cada equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.1
Substitua todas as ocorrências de em por .
Etapa 1.3.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.2.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.2.1.1
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.2.2.1.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.3.2.2.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.3.2.2.1.2
Some e .
Etapa 1.3.3
Resolva em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.1
Reescreva a equação como .
Etapa 1.3.3.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.3.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.3.3.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.3.4
Substitua todas as ocorrências de por em cada equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.4.1
Substitua todas as ocorrências de em por .
Etapa 1.3.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.4.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.3.5
Liste todas as soluções.
Etapa 1.4
Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em pelos valores encontrados para e .
Etapa 1.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.3
Mova para a esquerda de .
Etapa 1.5.4
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 1.5.5
Multiplique por .
Etapa 2
Divida a integral única em várias integrais.
Etapa 3
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 4
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 5
Deixe . Depois, . Reescreva usando e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Deixe . Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1
Diferencie .
Etapa 5.1.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 5.1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.5
Some e .
Etapa 5.2
Reescreva o problema usando e .
Etapa 6
A integral de com relação a é .
Etapa 7
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 8
Deixe . Depois, . Reescreva usando e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Deixe . Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1.1
Diferencie .
Etapa 8.1.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 8.1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 8.1.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 8.1.5
Some e .
Etapa 8.2
Reescreva o problema usando e .
Etapa 9
A integral de com relação a é .
Etapa 10
Simplifique.
Etapa 11
Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 11.2
Substitua todas as ocorrências de por .