Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} b \sqrt{1 - b^{2}} d b$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - b^{2}$ . Depois, $d u = - 2 b d b$ , então, $- \frac{1}{2} d u = b d b$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - b^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d b}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - b^{2}$ .

$\frac{d}{d b} [1 - b^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - b^{2}$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [1] + \frac{d}{d b} [- b^{2}]$ .

$\frac{d}{d b} [1] + \frac{d}{d b} [- b^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $1$ em relação a $b$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d b} [- b^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d b} [- b^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $- b^{2}$ em relação a $b$ é $- \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 b)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 b$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 b$ de $0$ .

$- 2 b$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $b$ em $u = 1 - b^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $b$ em $u = 1 - b^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $0$ e em $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 7.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3})$

Etapa 7.2.8

Subtraia $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6}$

Etapa 7.2.13

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 7.2.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Etapa 7.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.13.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$

Etapa 9