Cálculo Exemplos

$\int \ln (5 x - 4) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (5 x - 4)$ e $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

Etapa 2.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

Etapa 3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

Etapa 4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

Etapa 5

Divida $x$ por $5 x - 4$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - \frac{4}{5}$ .

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Etapa 8

Como $\frac{4}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{4}{5}$ para fora da integral.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

Etapa 9

Deixe $u = 5 x - 4$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 5 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 9.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 9.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 9.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

Etapa 10.2

Mova $5$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

Etapa 10.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Etapa 16.1.2

Combine $\frac{4}{25}$ e $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Etapa 16.2

Para escrever $\frac{x}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Etapa 16.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.3.1

Multiplique $\frac{x}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Etapa 16.3.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Etapa 16.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Etapa 16.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 16.5.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Etapa 16.5.2

Fatore $5$ de $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Etapa 16.5.3

Cancele o fator comum.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Etapa 16.5.4

Reescreva a expressão.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Etapa 16.6

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$