Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x^{10}$ . Depois, $d u = 10 x^{9} d x$ , então, $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x^{10}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{10}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Etapa 2

Combine $u^{9}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{9}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{10} u^{10}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{10}$ e $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $1024$ e $10$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Etapa 5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Etapa 5.2.6

Para escrever $\frac{512}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Etapa 5.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.7.1

Multiplique $\frac{512}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Etapa 5.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Etapa 5.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.9.1

Multiplique $512$ por $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Etapa 5.2.9.2

Subtraia $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $10$ por $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1023}{100}$

Forma decimal:

$10.23$

Forma de número misto:

$10 \frac{23}{100}$

Etapa 7