Cálculo Exemplos

$\int x \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Etapa 9

Reescreva $\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ como $\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$