Cálculo Exemplos

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2} - 3$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $u^{7}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$