Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x + 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x + 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4

Expanda $(x + 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.7

Reordene $x^{\frac{1}{2}}$ e $4 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$