Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{4 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $- \frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{2}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 5.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 8.2

Reescreva $- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ como $- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Combine $x$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 8.3.2

Combine ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 8.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 8.3.4

Mova $2$ para a esquerda de ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 8.3.5

Combine $u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Etapa 8.3.6

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

Etapa 8.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Etapa 8.3.8

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 8.3.9

Para escrever $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 8.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.10.1

Multiplique $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 8.3.10.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 8.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 8.3.12

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$\frac{1}{15} (- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$