Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 1 + \cos (x) |) + C$