Cálculo Exemplos

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $e^{z}$ e o mova para fora do denominador.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{z})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Etapa 1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Etapa 1.2.3

Reescreva $- 1 z$ como $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = z$ e $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $z$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Etapa 4.2

Multiplique $\int e^{- z} d z$ por $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Etapa 5

Deixe $u = - z$ . Depois, $d u = - d z$ , então, $- d u = d z$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - z$ . Encontre $\frac{d u}{d z}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Etapa 8

Reescreva $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ como $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$