Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (2 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.5

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 1.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 1.1.7.5.2

Divida $(B) (2 + x)$ por $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Etapa 1.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Etapa 1.1.7.7

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Etapa 1.1.8.3

Mova $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Etapa 1.1.8.4

Mova $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $B$ em $0 = - 1 A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3

Some $A$ aos dois lados da equação.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $A$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = 2 A + 2 B$ por $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Some $2 A$ e $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Etapa 1.3.3

Resolva $A$ em $1 = 4 A$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Etapa 1.3.3.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = A$ por $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 - x}$ .

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 + x$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 + x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 2 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 2 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 7.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 + x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 - x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 - x |) + C$