Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 27}$ como ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 1.10

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Etapa 1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Etapa 1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.4

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.5

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.10

Combine frações.

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Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.10.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.13

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.14

Combine frações.

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Etapa 2.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.14.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.14.4

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.18

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.20.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.20.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.20.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.22

Para escrever ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.24

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.24.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.24.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.24.3

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.24.4

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 27) - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.25

Simplifique ${(x^{2} + 27)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 27 - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.26

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.27

Some $0$ e $27$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.28

Reescreva $\frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 27}$

Etapa 2.29

Multiplique $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 27}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Etapa 2.30

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 27$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.1

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.1.1

Eleve $x^{2} + 27$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Etapa 2.30.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.30.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.30.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.30.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 3.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7.2

Combine ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.3.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7.3.2

Mova ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7.3.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$f''' (x) = - 27 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Etapa 3.7.4

Combine $\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ e $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 27}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 3.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.5.1

Multiplique $3$ por $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{- 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 3.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 3.10

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 3.11

Simplifique os termos.

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Etapa 3.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Etapa 3.11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Etapa 3.11.3

Combine $- 2$ e $\frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Etapa 3.11.4

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$f''' (x) = \frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Etapa 3.11.5

Combine $\frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ e $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 162 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.11.6

Fatore $2$ de $- 162 x$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 3.12.2

Cancele o fator comum.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.12.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = \frac{- 81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4.2

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.8.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Combine $\frac{5}{2}$ e ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.9.2

Combine $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.12

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.13.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.13.5

Combine $\frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ e $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.17

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.18

Fatore $2$ de $- 10 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.19.2

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.19.3

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.19.4

Divida $- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.20

Fatore ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.20.1

Mova ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.20.2

Fatore ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.20.3

Fatore ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de $- 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.20.4

Fatore ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.21

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.1

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.21.2

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 27) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.22

Simplifique.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 27 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.23

Subtraia $5 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Etapa 4.24

Mova ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.25

Multiplique ${(x^{2} + 27)}^{5}$ por ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.25.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.25.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.25.3

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.25.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Etapa 4.25.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.25.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Etapa 4.25.5.2

Subtraia $3$ de $10$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.26

Combine $- 81$ e $\frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.27

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{(81) (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28

Simplifique.

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Etapa 4.28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.28.2.1

Multiplique $- 4$ por $81$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.2.2

Multiplique $81$ por $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.3

Fatore $81$ de $- 324 x^{2} + 2187$ .

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Etapa 4.28.3.1

Fatore $81$ de $- 324 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.3.2

Fatore $81$ de $2187$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.3.3

Fatore $81$ de $81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.4

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.5

Reescreva $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) - 1 \cdot - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.6

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.7

Reescreva $- (4 x^{2} - 27)$ como $- 1 (4 x^{2} - 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 1 (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.28.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 4.28.10

Multiplique $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$