Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie $\ln (x) x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Etapa 4.2

Avalie $x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

Etapa 5.1.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$e - \ln (1) - (e - 1)$

Etapa 5.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e - 0 - (e - 1)$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - (e - 1)$

Etapa 5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$e + 0 - e - - 1$

Etapa 5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e + 0 - e + 1$

Etapa 5.2

Some $e$ e $0$ .

$e - e + 1$

Etapa 5.3

Subtraia $e$ de $e$ .

$0 + 1$

Etapa 5.4

Some $0$ e $1$ .

$1$