Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ como ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = 3 + t$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + t$ .

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ por $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

Etapa 4.8.2

Some $2 {(3 + t)}^{- 3}$ e $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

Etapa 5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$