Cálculo Exemplos

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2}$ .

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $\sin (y^{2})$ por $1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

Etapa 5.3

Subtraia $2 x y y' \cos (y^{2})$ dos dois lados da equação.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

Etapa 5.4

Subtraia $2 x y \cos (x^{2})$ dos dois lados da equação.

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $y' \sin (x^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ .

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ por $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ por $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Etapa 5.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$