Cálculo Exemplos

$y = x^{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Etapa 3.6.2

Multiplique $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$