Cálculo Exemplos

$e^{\frac{x}{y}} = x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5

Combine $e^{\frac{x}{y}}$ e $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reordene os fatores em $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.3

Mova $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.4

Reordene $y e^{\frac{x}{y}}$ e $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(1 - y') y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2} - y' y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y' y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reordene $y^{2}$ e $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Some $y' y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $y e^{\frac{x}{y}}$ dos dois lados da equação.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y'$ de $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ por $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ por $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

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Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.5.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

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Etapa 5.3.5.3.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2.2

Reescreva $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ como $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.3.5.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.3.5.3.3.4.1

Reescreva $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ como $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$