Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$