Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.8

Combine frações.

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Etapa 5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.8.3

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 7.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$