Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

Multiplique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 10.2.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Reorganize os termos.

$\frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (x) + 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $\cos (x) + 1$ e ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 10.3.1

Reordene os termos.

$\frac{1 + \cos (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.3.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.3.1

Fatore $1 + \cos (x)$ de ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 10.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 10.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$