Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + x + 4$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 4] - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5

Some $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $3 x^{3} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2 x^{3} - 4$ e $2$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 4}{2 x^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $2$ de $2 (x^{3}) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Etapa 4.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 (x^{2})}$

Etapa 4.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Etapa 4.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} - 2}{x^{2}}$