Cálculo Exemplos

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5.2

Some $2 x + x^{- 2}$ e $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{2} - \frac{1}{x}$ por $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Etapa 5

Para escrever $x (2 x + x^{- 2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Etapa 8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3

Combine os termos.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.1.1

Mova $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 11.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 11.3.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 11.3.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Etapa 11.3.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Etapa 11.3.6

Some $2 x^{3}$ e $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Etapa 11.3.7

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 11.3.7.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Etapa 11.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Etapa 11.3.7.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 11.3.7.2.3

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 11.3.7.2.4

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Etapa 11.3.7.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Etapa 11.3.8

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$