Cálculo Exemplos

$\log_{5} (x e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = x e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{5} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ .

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ e $e^{x}$ .

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Etapa 5.2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$