Cálculo Exemplos

$\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.8

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Etapa 4.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Etapa 4.4.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Etapa 4.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Etapa 4.6

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Etapa 4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Etapa 4.6.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.4

Combine os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine $- 9$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.4.3

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.4.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Etapa 5.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$