Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.1.2

Reordene os fatores em $2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3

Fatore $e^{x} x$ de $2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $e^{x} x$ de $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3.2

Fatore $e^{x} x$ de $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $e^{x} x$ de $e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ .

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Etapa 4.4.2.4

Divida $e^{- x} x (2 - x)$ por $1$ .

$e^{- x} x (2 - x)$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

Etapa 4.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- x} x$ .

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

Etapa 4.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

Etapa 4.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.1

Mova $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

Etapa 4.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

Etapa 4.9

Reordene os fatores em $2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ .

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$