Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$- 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Combine $- 16$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.4

Mova $16$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.16

Combine $- 16$ e $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3

Fatore $16$ de $- 48 x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.3.1

Fatore $16$ de $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.2

Fatore $16$ de $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.3

Fatore $16$ de $16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Etapa 2.18.10

Multiplique $\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 1})$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Etapa 4.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Etapa 4.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Combine $- 16$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Etapa 4.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Etapa 4.1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.2.4

Mova $16$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$16 x = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $16 x = 0$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $16 x = 0$ por $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{16}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $16$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{16 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{16 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{1^{3}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{16 \cdot - 1}{1}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{- 16}{1}$

Etapa 9.3.2

Divida $- 16$ por $1$ .

$- 16$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{8}{{(0)}^{2} + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{8}{0 + 1}$

Etapa 11.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{8}{1}$

Etapa 11.2.2

Divida $8$ por $1$ .

$f (0) = 8$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $8$ .

$y = 8$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$ .

$(0, 8)$ é um máximo local

Etapa 13