Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 13

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 14

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 14.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 17

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 18

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 18.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 18.2

Combine frações.

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Etapa 18.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 18.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 18.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 18.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 19

A solução para a equação $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 21.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 21.2

Simplifique os termos.

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Etapa 21.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 21.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 21.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 21.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 21.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 21.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 21.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 21.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 21.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Etapa 22

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 23.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 23.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 23.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 23.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 23.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 23.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 23.2.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Etapa 23.2.3

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 24

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 25.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 25.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 25.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 25.1.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 25.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 25.1.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 25.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 25.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.1.6

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 25.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.1.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.2

Simplifique os termos.

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Etapa 25.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 25.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 25.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 26

$x = \frac{5 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 27

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Etapa 27.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 27.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 27.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 27.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 27.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 27.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 27.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 27.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 27.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 27.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 27.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 27.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 27.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 27.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 27.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 27.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 27.2.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Etapa 27.2.3

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 28

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ é um mínimo local

Etapa 29