Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Etapa 1

Reescreva $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{3 - u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = - d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 5.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$