Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{4 - 9 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 - 9 x^{2}$ . Depois, $d u = - 18 x d x$ , então, $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 4 - 9 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $4 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$0 - 18 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $18 x$ de $0$ .

$- 18 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 18} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{18}) d u$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{18}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{18}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{18}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{18} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{18} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{18} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 18} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $18$ .

$- \frac{2}{54} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{54} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $54$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{1}{27} {(4 - 9 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$