Cálculo Exemplos

$\int \frac{17 x + 5}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

Etapa 1.1.1.1.2

Reescreva $7$ como $- 1$ mais $8$

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

Etapa 1.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{17 x + 5}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{17 x + 5}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{17 x + 5}{(2 x - 1) (x + 4)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(17 x + 5) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(17 x + 5) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(17 x + 5) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(17 x + 5) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $17 x + 5$ por $1$ .

$17 x + 5 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$17 x + 5 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$17 x + 5 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$17 x + 5 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$17 x + 5 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$17 x + 5 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$17 x + 5 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.7.8

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x - B$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 x B - B$

Etapa 1.1.8.2

Mova $4 A$ .

$17 x + 5 = A x + 2 x B + 4 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$17 = A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 4 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$17 = A + 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

$17 = A + 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $17 = A + 2 B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 17$ .

$A + 2 B = 17$

$5 = 4 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = 17 - 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $17 - 2 B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 4 A - 1 B$ por $17 - 2 B$ .

$5 = 4 (17 - 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $4 (17 - 2 B) - 1 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 4 \cdot 17 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $4$ por $17$ .

$5 = 68 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$5 = 68 - 8 B - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 68 - 8 B - B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 8 B - B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 8 B$ .

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $5 = 68 - 9 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $68 - 9 B = 5$ .

$68 - 9 B = 5$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $68$ dos dois lados da equação.

$- 9 B = 5 - 68$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $68$ de $5$ .

$- 9 B = - 63$

$A = 17 - 2 B$

$- 9 B = - 63$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 9 B = - 63$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 9 B = - 63$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $- 63$ por $- 9$ .

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $7$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 17 - 2 B$ por $7$ .

$A = 17 - 2 \cdot 7$

$B = 7$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $17 - 2 \cdot 7$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$A = 17 - 14$

$B = 7$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $14$ de $17$ .

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = 7$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{7}{x + 4}$

Etapa 1.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{3}{2 x - 1} + \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Etapa 9

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 10.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + 7 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x - 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 7 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 7 \ln (| x + 4 |) + C$