Cálculo Exemplos

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{u}{3}$ e $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Etapa 5

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Etapa 6

Reescreva $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ como $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

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Etapa 8.2.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{x^{3}}{3}$ e $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Etapa 8.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$