Cálculo Exemplos

\int_{0}^{1} arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

u = arctan (x)

$u = \arctan (x)$ e

d v = 1

$d v = 1$ .

arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Combine

x

$x$ e

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Deixe

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Depois,

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , então,

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Como

1

$1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

1

$1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Etapa 3.1.5

Some

2 x

$2 x$ e

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por

x

$x$ em

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 3.3.2

Some

0

$0$ e

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por

x

$x$ em

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 3.5.2

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e os novos limites de integração.

arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.2

Mova

2

$2$ para a esquerda de

$u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 5

Como

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

$u$ , mova

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de

$\frac{1}{u}$ com relação a

$u$ é

$\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie

$\arctan (x) x$ em

$1$ e em

$0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Etapa 7.2

Avalie

$\ln (| u |)$ em

$2$ e em

$1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique

$\arctan (1)$ por

$1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.2

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.3

Multiplique

$0$ por

$\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.4

Some

$\arctan (1)$ e

$0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 8.2

Combine

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$2$ é

$2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Etapa 9.3

Divida

$2$ por

$1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 10

O valor exato de

$\arctan (1)$ é

$\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$0.43882457 \dots$