Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Combine $x$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 3.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\arctan (x) x$ em $1$ e em $0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Etapa 7.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $2$ e em $1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\arctan (1)$ por $1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.3

Multiplique $0$ por $\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3.4

Some $\arctan (1)$ e $0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 8.2

Combine $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Etapa 9.3

Divida $2$ por $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 10

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$0.43882457 \dots$