Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Etapa 1.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 3.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Etapa 3.2.6

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$